В 1976 году с отличием окончил историко-филологический факультет КГУ имени В. И. Ульянова-Ленина.
В 1980 году Морозов защитил кандидатскую диссертацию на соискание ученой степени кандидата философских наук на тему: «Критический анализ западногерманских интерпретаций теории и практики социалистического интернационализма»;
В 1985 году был избран в партком КГУ и в 29 лет стал доцентом кафедры научного коммунизма КГУ;
В 1985—1987 годах — заместитель секретаря парткома университета;
В 1987 - 1989 годах — заведующий отделом Татарского обкома КПСС;
В 1989-1991 годах — инструктор отдела науки и образования ЦК КПСС;
В 1991—1993 — обозреватель газеты «Советская Татария»;
C 1993 года по май 2012 года — депутат Государственной думы РФ. Избирался во всех случаях по одномандатному округу в Казани и Набережных Челнах в Татарстане;
В декабре 2007 года избран депутатом Государственной Думы пятого созыва в составе федерального списка кандидатов, выдвинутого Всероссийской политической партией «Единая Россия»;
С декабря 2011 года — депутат Государственной Думы шестого созыва; избран в составе федерального списка кандидатов, выдвинутого Всероссийской политической партией «Единая Россия». Заместитель Председателя Госдумы;
C 25 мая 2012 года по 23 марта 2015 года — начальник управления по внутренней политике Администрации Президента РФ;
23 сентября 2015 года назначен сенатором от Республики Татарстан в Совет Федерации.
12 октября 2021 г. Олег Морозов избран главой комитета по контролю Государственной Думы VIII созыва.