Александр Потапов родился 23 февраля 1963 года в Москве.
В 1986 году окончил Московское высшее техническое училище имени Баумана.
С 1985 года трудился инженером в Московском институте теплотехники. В 1987–1991 годах был инженером-электроником в КГБ.
С 1992 года работал в руководстве ряда бизнес-структур.
С 1998 года –советник, заместитель директора федерального долгового центра при правительстве РФ.
С 2001 года –советник исполнительного директора негосударственного долгового центра «Родник» (Москва).
В 2002-2004 годах –заместитель гендиректора Российского агентства по обычным вооружениям.
С 2004 года –начальник управления промышленности обычных вооружений Федерального агентства по промышленности. С 8 июля 2008 года – директор департамента промышленности обычных вооружений, боеприпасов и спецхимии Минпромторга.
3 октября 2012 года назначен директором Рособоронзаказа.
7 июля 2014 года –назначен заместителем министра промышленности и торговли.
2 марта 2017 года назначен гендиректором Уралвагонзавода.
Генеральный директор АО «Концерн «Уралвагонзавод», председатель Совета директоров АО «Научно-производственная корпорация «Уралвагонзавод».
Входит в Высший совет партии «Единая Россия» и бюро центрального совета Союза машиностроителей России.