Родился 20 февраля 1959 года в Краснодаре.
В 1982 году с красным дипломом окончил факультет молекулярной и химической физики Московского физико-технического института.
В 1985 году окончил аспирантуру МФТИ. Защитил диссертацию по теме «Физика и химия плазмы» на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук в Институте высоких температур АН СССР.
С 1985 года работал заведующим лабораторией, затем руководителем коммерческого центра Института высоких температур АН СССР. Научная группа под руководством Абрамова участвовала в разработке проекта создания беспилотного космического корабля многоразового использования «Буран».
В 1992 году, 28 февраля основал с сокурсниками ТОО «Евразметалл» и стал егогенеральным директором. Впоследствии компания была преобразована в «ЕвразХолдинг». В негочерез процедуру банкротства вошли Нижнетагильский, Новокузнецкий и Западно-Сибирский металлургические комбинаты.
В 1995 году был председателем совета директоров Нижнетагильского металлургического комбината.
С 1995 по 2005 годы – директор и председатель совета директоров «Группа ЕАМ».
В 1998 году – главный эксперт ЗАО «Феррокс».
В 1998 году становится членом совета директоров дочерней компании банка «СБС-Агро» Александра Смоленского ЗАО «Инвестиционный банкирский дом „Финансы и промышленность“» (ИК «Финпром»), управляемой «Финпром-холдинг».
В 1999–2005 годы – президент горно-металлургического комплекса «Евразхолдинг».
В октябре 2000 года Александр Абрамов был избран членом Совета по предпринимательству при правительстве РФ.
В 2001 году Абрамов входит в состав совета директоров ОАО «Северский трубный завод».
В 2005 году разместил акции «Евраз Груп» на Лондонской фондовой бирже (капитализация «Евраз Груп» составила 5,1 млрд долларов США).
С 2005 года по 1 января 2006 года – президент «Евраз Груп» (Evraz Group S.A.).
До 1 мая 2006 года –председатель Совета директоров «Евраз Груп».
1 мая 2006 покинул пост председателя совета директоров «Евраз Груп» и становится членом Совета директоров без исполнительных полномочий.
В конце декабря 2008 года вернулся на место председателя совета директоров.
В декабре 2009 года сообщалось, что Александр Абрамов войдет в состав акционеров созданного Михаилом Прохоровым банка «Международный финансовый клуб» (МФК) вместе с Сулейманом Керимовым и Виктором Вексельбергом. В апреле 2010 года выкупает 19,71 % акций МФК и становится одним из его совладельцев.
В 2010 году получил гражданство Кипра.
В марте 2012 года зарегистрировался по месту жительства в Новокузнецке, чтобы платить налоги в Кузбассе, где работают крупнейшие предприятия компании.
Председатель Совета директоров компании «Евраз Плс.».
