Евгений Васильевич Громыко родился 22 декабря 1962 года в станице Выселки, Выселковского района Краснодарского края. Выпускник Кубанского сельскохозяйственного института ордена Трудового Красного Знамени.
Евгений Громыко начал трудовую деятельность в 1985 году в должности старшего ветеринарного врача в цехе животноводства межхозяйственного комплекса по доращиванию и откорму КРС «Выселковский», а также в цехе животноводства ЗАО «Фирма «Агрокомплекс». Через четыре года Евгений Васильевич становится сотрудником Выселковского районного комитета ВЛКСМ. В том же году Громыко был назначен на должность начальника отдела сбыта в ЗАО «Фирма «Агрокомплекс». На данном предприятии Евгений Васильевич работал в течение трех лет и занимал должности заместителя директора по коммерческим вопросам, начальника отдела экономической безопасности, а также заместителя директора по вопросам внешнеэкологической политики и связям. В 2001 году Евгений Громыко начал работать генеральным директором департамента регионального продовольствия Краснодарского края. Громыко занял пост советника главы администрации Краснодарского края в том же году, а с 2002 по 2004 год Евгений Васильевич работал полномочным представителем администрации Краснодарского края по торгово-экономическому сотрудничеству. Затем в течение года находился на посту первого заместителя генерального директора ГУП «Кубанский продовольственный фонд» Краснодарского края.
В 2005 году Евгений Громыко стал заместителем генерального директора по стратегическим вопросам предприятия «Управляющая компания Кубаньсвинпром». С 2009 по 2011 год служил заместителем губернатора Краснодарского края. Благодаря Евгению Громыко был разработан ряд целевых программ края, посвященных развитию сельского хозяйства.
22 января 2014 года на 18-й сессии Законодательного собрания Краснодарского края кандидатура Евгения Громыко была утверждена на пост члена Совета Федерации.
С июля 2015 по апрель 2016 г. – первый заместитель министра сельского хозяйства Российской Федерации.
С апреля 2016 года– заместитель министра сельского хозяйства Российской Федерации.
В июне 2018 года освобождён от должности заместителя министра сельского хозяйства по собственному желанию.
Евгений Васильевич Громыко обладает рядом государственных наград: золотой и серебряной медалью «За вклад в развитие агропромышленного комплекса России», медалью «За выдающийся вклад в развитие Кубани». Кроме того, Евгений Васильевич является кандидатом ветеринарных наук и заслуженным работником сельского хозяйства Российской Федерации.