Образование
Окончил Ульяновский филиал Московского государственного университета по специальности «лечебное дело» в 1997 году.
В 2002 году в Самарском государственном медицинском университете защитил диссертацию на тему «Нарушения эвакуаторной функции после резекции желудка по поводу осложнённой язвенной болезни и их лечение» и получил ученую степень кандидата медицинских наук.
В 2008 году заочно окончил юридический факультет Ульяновского государственного университета.
Деятельность в медицинской сфере
С 1997 года по 2010 год работал врачом-хирургом поликлинического отделения Ульяновской городской больницы № 2, а также занимался преподавательской деятельностью на кафедре госпитальной хирургии медицинского факультета Ульяновского государственного университета.
С 2010 года по 2013 год – главный врач Ульяновского областного клинического центра специализированных видов медицинской помощи им. Е. М. Чучкалова.
Политическая деятельность
Участвовал в дополнительных выборах в Законодательного собрания Ульяновской области III созыва 14 марта 2004 года по Засвияжскому избирательному округу № 14 в качестве самовыдвиженца.
5 декабря 2004 года в ходе дополнительных выборов был избран от «Единой России» по Засвияжскому избирательному округу № 14 депутатом регионального парламента.
Подавал в декабре 2003 года заявление на вступление в «Единую Россию», однако не стал в неё вступать. По собственному утверждению, причиной расхождения с партией стала ситуация с монетизацией льгот, которую Куринный не поддерживал.
В 2005 году вступил в партию «Родина», которая в 2007 году вошла в состав партии «Справедливая Россия: Родина/Пенсионеры/Жизнь», Куринный стал членом партийной фракции в региональном парламенте. В этом созыве занимал пост заместителя председателя комитета по социальной политике и делам молодежи.
2 марта 2008 года был избран от эсеров по Засвияжскому избирательному округу № 15. Набрал 32,42% голосов избирателей.
В апреле 2008 года группа членов региональное отделения «Справедливой России» в Ульяновской области предложила на место председателя отделения избрать Алексея Куринного, что привело к расколу в отделении партии.
В сентябре 2008 года исключён из «Справедливой России», по официальной причине «за действия, наносящие вред политическим интересам партии и дискредитирующие партию», по неофициальной за участие в перекрытии транспортной магистрали по улице Рябикова протестующими против точечной застройки 9-этажного дома на территории сквера.
После исключения был внепартийным депутатом. Входил в состав комитета заксобрания по государственному и муниципальному строительству и делам молодежи.
Принимал участие в выборах главы Ульяновска, которые состоялись 14 марта 2010 года. Был выдвинут КПРФ. По итогам голосования Куринный занял второе место. Вскоре после выборной кампании Куринный назначен главным врачом областной больницы № 2 в Ульяновске. 11 июля 2013 года выдвинут региональным отделением КПРФ кандидатом в депутаты Законодательного собрания Ульяновской области V созыва по Ленинскому одномандатному округу № 14, также был вторым номером в общеобластном списке КПРФ. 8 сентября 2013 года избран.
29 ноября 2014 года на отчётно-выборной конференции Ульяновского регионального отделения КПРФ избран первым секретарём.
2 июля 2016 года региональной конференции Ульяновского обкома КПРФ и пленума ульяновской ячейки партии было принято решение о выдвижении Куринного кандидатом на пост губернатора Ульяновской области. По итогам голосования, которое прошло 18 сентября 2016 года, Куринный занял второе место и не смог выйти во второй тур, проиграв на тот момент официально временно исполняющему обязанности губернатора Сергея Морозова.
Помимо этого был выдвинут КПРФ по федеральному списку партии на выборах в госдуму и стал депутатом ГД РФ.